Question

已知函數(shù)f（x）=

1-a+lnx

x

，a＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）當a=1時，若不等式f（x）-k＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（3）已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，求證：x₁+x₂＞x₁x₂．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

a-lnx

x2

（x＞0）．分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（e^a）=0即可得出；
（2）當a=1時由（1）可得：x=e時函數(shù)f（x）取得極大值．不等式f（x）-k＜0在（0，+∞）上恒成立?k＞f（x）_max．即可得出的取值范圍．
（3）由（1）a=1時，f（x）=

lnx

x

在（0，e]上單調(diào)遞增．不妨設0＜x₁≤x₂＜x₁+x₂＜e，可得

lnx1

x1

≤

lnx2

x2

＜

ln(x1+x2)

x1+x2

＜

lne

e

=

1

e

，即可得出．

解答： （1）解：f′（x）=

1 x ×x-(1-a+lnx)

x2

=

a-lnx

x2

（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得0＜x＜e^a，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得x＞e^a，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
又f′（e^a）=0，∴當x=e^a時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（e^a）=

1

ea

．
（2）解：當a=1時，f(x)=

lnx

x

.f′(x)=

1-lnx

x2

，
由（1）可得：x=e時函數(shù)f（x）取得極大值

1

e

，
∵不等式f（x）-k＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴k＞f（x）_max=

1

e

．
∴k的取值范圍是(

1

e

，+∞)；
（3）證明：由（1）a=1時，f（x）=

lnx

x

在（0，e]上單調(diào)遞增．
不妨設0＜x₁≤x₂＜x₁+x₂＜e，
∴

lnx1

x1

≤

lnx2

x2

＜

ln(x1+x2)

x1+x2

＜

lne

e

=

1

e

，
∴

lnx1+lnx2

x1+x2

≤

lnx2

x2

＜

ln(x1+x2)

x1+x2

，
∴l(xiāng)n（x₁x₂）＜ln（x₁+x₂），
∴x₁x₂＜x₁+x₂．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了利用已經(jīng)證明的結論解決問題的方法，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．