在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．

答案：
解析：

　　證明：由A、B、C成等差數(shù)列，所以有

　　2B＝A＋C，因為A、B、C為△ABC的內(nèi)角，

　　所以A＋B＋C＝π，

　　所以B＝．

　　由a、b、c成等比數(shù)列，有b2＝ac．

　　由余弦定理及b2＝ac，可得：

　　b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac．

　　∴a2＋c2－ac＝ac　即(a－c)2＝0，

　　因此a＝c，從而有A＝C．

　　∴A＝B＝C＝，所以△ABC為正三角形．

　　思路分析：將A、B、C成等差數(shù)列，轉化為符號語言就是2B＝A＋C；a、b、c成等比數(shù)列，轉化為符號語言就是b2＝ac．A、B、C為△ABC的內(nèi)角，這是一個隱含條件，明確表示出來是A＋B＋C＝π，此時，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進一步尋找角和邊之間的關系，進而判斷三角形的形狀．余弦定理正好滿足要求，于是可以用余弦定理為工具進行證明．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90o，則||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設復數(shù)z=sinA（sinA-sinC）+（sin2B-sin2C）i，且z在復平面內(nèi)所對應的點在直線y=x上．
（1）求角B的大��；
（2）若sinB=cosAsinC，△ABC的外接圓的面積為4π，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|．給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

①“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題是“若x，y互為相反數(shù)，則x+y=0”．
②在平面內(nèi)，F(xiàn)1、F2是定點，|F1F2|=6，動點M滿足||MF1|-|MF2||=4，則點M的軌跡是雙曲線．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數(shù)列”的充要條件．
④“若-3＜m＜5則方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1是橢圓”．
⑤在四面體OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，D為BC的中點，E為AD的中點，則
OE
=
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c

⑥橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為5．
其中真命題的序號是：
①②③⑤⑥
①②③⑤⑥
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設復數(shù)z=sinA（sinA-sinC）+（sin2B-sin2C）i，且z在復平面內(nèi)所對應的點在直線y=x上．
（1）求角B的大�。�
（2）若sinB=cosAsinC，△ABC的外接圓的面積為4π，求△ABC的面積．

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