Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線L：mx-y+1-m=0．
①求證：對m∈R，直線L與圓C總有兩個不同的交點；
②求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：①將直線l的方程變形提出m，根據(jù)直線方程的斜截式，求出直線恒過點（1，1），即可證明結論；
②直線l截圓所得的弦最長時，一定過圓心；當弦長最短時，AC和直線L垂直，即可求得L的直線方程．

解答： ①證明：∵直線L：mx-y+1-m=0即為y=m（x-1）+1，
∴直線l恒過（1，1），
∵1²+（1-1）²=1＜5，
∴A（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內部，
∴對m∈R，直線L與圓C總有兩個不同的交點；
②解：被圓截得的弦最長的直線一定過圓心，方程為y=1，
它的圓心為C（0，1），由弦長最短，可得AC和直線L垂直，
故直線l的方程為x=1．

點評：判斷直線與圓的位置關系，一般利用圓心與直線的距離與半徑的大小關系加以判斷，有時也可轉化為直線恒過的點來判斷．