Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，f′（1）=0，曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線到直線y=2x+3的角為135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于任意實(shí)數(shù)α和β，不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意有f（0）=c=0，f'（x）=3x²+2ax+b且f′（1）=3+2a+b=0
又曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線的斜率k=f′（0）=b，而直線y=2x+3到此切線所成的角為135°，
所以②（4分）
聯(lián)立①②解得a=0，b=-3
∴f（x）=x³-3x…．（6分）
（2）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立等價(jià)于|f（x）_max-f（x）_min|≤m（8分）
由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，而f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）	-2		2		-2		2

∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2
∴|f（x）_max-f（x）_min|=4≤m
∴m的最小值為4（12分）
分析：（1）由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，有f（0）=c=0，利用在x=1處取得極值可知f′（1）=3+2a+b=0，再根據(jù)曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線的斜率k=f′（0）=b，而直線y=2x+3到此切線所成的角為135°，根據(jù)到角公式可求得解得b=-3，從而可求函數(shù)的解析式；
（2）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立等價(jià)于|f（x）_max-f（x）_min|≤m，由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，從而可得m的最小值．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，屬于中檔題．