Question

已知數(shù)列a_n的首項a₁=0，a_n+a_n+1（n∈N^*）是首項為1、公差為3的等差數(shù)列．
①求a_n的通項公式；
②求數(shù)列2^-n×a_n的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：①依題意，a_n+a_n+1=3n-2，a_2n-1（n∈N^*）和a_2n（n∈N^*）都是公差為3的等差數(shù)列．由此可求出a_n的通項公式．
②S_n=2^-1×a₁+2^-2×a₂+2^-3×a₃++2^-n+1×a_n-1+2^-n×a_n，2S_n=a₁+2^-1×a₂+2^-2×a₃++2^-n+2×a_n-1+2^-n+1×a_n，由此用錯位相減法能夠獨到
解答：解：①依題意，根據(jù)等差數(shù)列通項公式，a_n+a_n+1=3n-2，
當(dāng)n＞1時，a_n+a_n-1=3n-5，a_n+1-a_n-1=3，
即a_2n-1（n∈N^*）和a_2n（n∈N^*）都是公差為3的等差數(shù)列．
因為a₁=0，a₂=1，
所以a_2n-1=3（n-1），a_2n=3n-2，
即，k∈N^*．
②S_n=2^-1×a₁+2^-2×a₂+2^-3×a₃++2^-n+1×a_n-1+2^-n×a_n2S_n=a₁+2^-1×a₂+2^-2×a₃++2^-n+2×a_n-1+2^-n+1×a_n，
兩式相加得3S_n=2^-1（a₂+a₁）+2^-2（a₃+a₂）++2^-n+2（a_n-1+a_n-2）+2^-n+1（a_n+a_n-1）+2^-n×a_n6S_n
=（a₂+a₁）+2^-1（a₃+a₂）++2^-n+3（a_n-1+a_n-2）+2^-n+2（a_n+a_n-1）+2^-n+1×a_n
兩式相減得：3S_n=1+2^-1×3+2^-2×3++2^-n+2×3-2^-n+1×（3n-5）+2^-n×a_n3S_n
=1+3×（1-2^-n+2）-2^-n+1×（3n-5）+2^-n×a_n=4-2^-n×（6n+2-a_n）
，
所以，k∈N^*．
點評：數(shù)列最基礎(chǔ)的知識是等差等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，以及推導(dǎo)公式過程中體現(xiàn)的思想方法，數(shù)列問題大多數(shù)需要向這些最基礎(chǔ)的知識轉(zhuǎn)化，綜合試題具體條件運用這些最基礎(chǔ)的知識．