已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,
Sn
1
4
與(an+1)2的等比中項(xiàng).
(1)求a1,a2,a3
(2)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(3)對于正整數(shù)m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值,求數(shù)列{bn}的前2m項(xiàng)和.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知得Sn=
1
4
(an+1)2
,由此利用遞推思想能求出a1,a2,a3
(2)由Sn=
1
4
(an+1)2
,得當(dāng)n≥2時,Sn-1=
1
4
(an-1+1)2
,從而(an+an-1)(an-an-1-2)=0,進(jìn)而an-an-1=2.由此能證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(3)由an=2n-1,得為2n-1≥m,從而n
m+1
2
.由此能求出數(shù)列{bn}的前2m項(xiàng)和.
解答: (1)解:(
Sn
2=
1
4
(an+1)2
,
即Sn=
1
4
(an+1)2

當(dāng)n=1時,a1=
1
4
(a1+1)2
,a1>0,
解得a1=1.
S2=1+a2=
1
4
(a2+1)2
,a2>0,
解得a2=3,
S3=4+a3=
1
4
(a3+1)2
,a3>0,
解得a3=5.
(2)證明:由(1)得Sn=
1
4
(an+1)2
,
當(dāng)n≥2時,Sn-1=
1
4
(an-1+1)2
,
∴an=Sn-Sn-1=
1
4
(an2-an-12+2an-2an-1)
,
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵an>0,∴an-an-1=2.
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(3)解:由(2)得an=2n-1,∴an≥m,即為2n-1≥m,
∴n
m+1
2

①m為奇數(shù),則nmin=
m+1
2
,∴S2m=
2m2+3m
2

②m為偶數(shù),則nmin=
m+2
2
,∴S2m=
2m2+5m
2

綜上所述,S2m=
2m2+3m
2
,m為奇數(shù)
2m2+5m
2
,m為偶數(shù)
點(diǎn)評:本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意分類討論思想的合理運(yùn)用.
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d
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