Question

如圖，直線，拋物線，已知點(diǎn)在拋物線上，且拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為．

（1）求直線及拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的任一直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，， ．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線的方程為，拋物線的方程為．（2）存在且

【解析】

試題分析：

（1）把點(diǎn)P的坐標(biāo)帶入拋物線方程即可求出拋物線方程,而直線l方程的求解有兩種方法,法1,可以考慮求出既與拋物線相切,又與直線l平行的直線,該直線與直線l的距離即為拋物線上的點(diǎn)到直線l的最短距離,進(jìn)而可以求的相應(yīng)的b值。法二,可以設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)為,列出點(diǎn)到直線l的距離公式,再利用二次函數(shù)的最值即可得到相應(yīng)的b值。

（2）直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q且不經(jīng)過(guò)P，所以直線AB斜率存在且利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,得到關(guān)于A,B橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理,進(jìn)而利用AB直線的斜率表示PA，PB直線的斜率,再聯(lián)立直線AB與直線l,用AB直線斜率表示PM直線的斜率,得到關(guān)于AB直線斜率的表達(dá)式,帶入即可求的的值.

試題解析：

（1）（法一）點(diǎn)在拋物線上， ． 2分

設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，

由 得，

，

由，得，則直線方程為．

兩直線、間的距離即為拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離，

有，解得或（舍去）．

直線的方程為，拋物線的方程為． 6分

（法二）點(diǎn)在拋物線上， ，拋物線的方程為． 2分

設(shè)為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)圖象，有，，

，的最小值為，由，解得．

因此，直線的方程為，拋物線的方程為． 6分

（2）直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，

由 得，

設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，，

，， 9分

. 10分

由 得，，

， 13分

．

因此，存在實(shí)數(shù)，使得成立，且． 14分

考點(diǎn)：拋物線的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，切線方程，點(diǎn)到直線距離，最值問(wèn)題