Question

P點是△ABC外一點，PA⊥平面ABC，PA=4cm，AC=3cm，∠ACB=150°．
求：（1）P到直線BC的距離；
（2）兩條異面直線PA和BC的距離；
（3）當∠CBA=θ時，C到平面PAB的距離（用θ表示）．

Answer 1

解：（1）過A作AD⊥BC，垂足為D，連接PD，則
∵PA⊥平面ABC
∴PD⊥BC
∴PD表示P到直線BC的距離
∵AC=3cm，∠ACB=150°．
∴
∴
∴P到直線BC的距離為；
（2）∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AD
∵AD⊥BC
∴兩條異面直線PA和BC的公垂線為AD
∵
∴兩條異面直線PA和BC的距離為；
（3）作CE⊥AB，垂足為E，則
∵PA⊥平面ABC
∴平面PAB⊥平面ABC
∵CE⊥AB
∴CE⊥平面PAB
∴CE 為C到平面PAB的距離
在三角形ACE中，∵∠ACB=150°，∠CBA=θ
∴∠CAE=30°-θ
∴CE=3sin（30°-θ ）
∴C到平面PAB的距離 為3sin（30°-θ）
分析：（1）過A作AD⊥BC，垂足為D，連接PD，則根據(jù)PA⊥平面ABC，可知PD⊥BC，從而PD表示P到直線BC的距離
（2）根據(jù)PA⊥平面ABC，AD⊥BC，可知兩條異面直線PA和BC的公垂線為AD，從而可求兩條異面直線PA和BC的距離；
（3）作CE⊥AB，垂足為E，則CE 為C到平面PAB的距離，在三角形ACE中，可求C到平面PAB的距離．
點評：本題以線面垂足為載體，考查點線、線線、點面距離，屬于基礎題．