Question

矩形ABCD中，AB=

3

，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=

6

．在BC上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥DQ，
（1）試證：AQ⊥DQ；
（2）當(dāng)Q點(diǎn)存在且惟一時(shí)，求二面角P-QD-A的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出DQ⊥面PAQ，由此能證明AQ⊥DQ．
（2）設(shè)BQ=x，則CQ=a-x，由（1）得x²-ax+3=0，從而x=

3

，由（1）AQ⊥DQ，PQ⊥DQ，從而∠PQA為二面角P-QD-A的平面角，由此能求出二面角P-QD-A為45⁰．

解答： （1）證明：∵PA⊥面ABCD，DQ?面ABCD，
PA⊥DQ，PQ⊥DQ，
∴DQ⊥面PAQ，
∵AQ?面PAQ，∴AQ⊥DQ…（6分）
（2）解：設(shè)BQ=x，則CQ=a-x
在RT△ABQ中，AQ=

3+x2

，
在RT△DCQ中，DQ=

(a-x)2+3

由（1）AQ²+DQ²=AD²
∵3+x²+（a-x）²+3=a²，∴x²-ax+3=0
當(dāng)Q點(diǎn)存在且惟一時(shí)，a2-12=0⇒a=2

3

，則x=

3

…（9分）
由（1）AQ⊥DQ，PQ⊥DQ，
∴∠PQA為二面角P-QD-A的平面角，
AQ=PA=

6

，
∴∠PQA=45°，即二面角P-QD-A為45⁰．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．