Question

【題目】三棱柱的主視圖和俯視圖如圖所示（圖中一格為單位正方形），D、D1分別為棱AC和A1C1的中點.

（1）求側（左）視圖的面積，并證明平面A1ACC1⊥平面B1BDD1

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）8，證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據三視圖判定面面垂直關系并證明，然后計算側視圖的面積；

（2）建立空間直角坐標系利用向量的坐標表示求二面角的大小.

解：（1）由視圖可知，側面A1ACC1⊥底面ABC，BD⊥AC

因為BD底面ABC，AC=側面A1ACC1底面ABC

所以BD⊥側面A1ACC1

因為BD平面B1BDD1

所以平面B1BDD1⊥側面A1ACC1

側視圖為矩形，長就是棱柱的高，寬為BD的長，所以面積S=4×2=8

（2）由（1）可知，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz

各點坐標為A(2，0，0)， D(0，0，0)， B(0，2，0)， C(-2，0，0)， A1(1，0，4)， D1(-1，0，4)， C1(-3，0，4)

B1(-1，2，4)

設平面A1BD的法向量為，則有：

=0

令，可得

設平面B1BD的法向量為，則有：

=0

令，可得，

設二面角的大小為，則有