Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），M是動(dòng)點(diǎn)，且直線MA與直線MB的斜率之積為-，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）過定點(diǎn)T（-1，0）的動(dòng)直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)S（s，0），使得為定值，若存在求出s的值；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（I）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
∵定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，
∴
∴
∴曲線C的方程為；
（II ）當(dāng)動(dòng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
由，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴
∵，
∴
若存在定點(diǎn)S（s，0），使得為定值，則=4
∴s=-，此時(shí)定值為
當(dāng)動(dòng)直線l的斜率不存在時(shí)，P（-1，），Q（-1，-），可知s=-時(shí)，=
綜上知，存在定點(diǎn)S（-，0），使得為定值．
分析：（I）根據(jù)定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，建立方程，化簡(jiǎn)可得曲線C的方程；
（II ）當(dāng)動(dòng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）與橢圓方程聯(lián)立，用坐標(biāo)表示出，要使存在定點(diǎn)S（s，0），使得為定值，則使=4即可，再驗(yàn)證斜率不存在情況也成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示出，進(jìn)而確定定值．