Question

已知函數f（x）=1-

2

3x+1

．
（1）求函數f（x）的定義域，判斷并證明f（x）的奇偶性．
（2）用單調性定義證明函數f（x）在其定義域上是增函數；
（3）解不等式f（3m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由函數f（x）的解析式可得函數的定義域為R，再根據f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
（2）證明：設x₂＞x₁，化簡 f（x₂）-f（x₁）=（1-

2

1+3x2

）-（1-

2

1+3x1

）=2•

3x2-3x1

(1+3x1)(1+3x2)

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），可得函數f（x）在其定義域上是增函數．
（3）不等式即f（3m+1）＜f（3-2m），利用f（x）的單調性可得 3m+1＜3-2m，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）由函數f（x）=1-

2

3x+1

，可得x∈R，即函數的定義域為R．
再根據f（-x）=1-

2

3-x+1

=1-2•

3x

1+3x

=1-

2(3x+1)-2

1+3x

=1-2+

2

1+3x

=-（1-

2

3x+1

）=-f（x），
故函數f（x）為奇函數．
（2）證明：設x₂＞x₁，則 f（x₂）-f（x₁）=（1-

2

1+3x2

）-（1-

2

1+3x1

）=2•

3x2-3x1

(1+3x1)(1+3x2)

，
由題設可得3x2-3x1＞0，（1+3x1）＞0，（1+3x2）＞0，∴2•

3x2-3x1

(1+3x1)(1+3x2)

＞0，即  f（x₂）＞f（x₁），
故函數f（x）在其定義域上是增函數．
（3）不等式f（3m+1）+f（2m-3）＜0，即f（3m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），∴3m+1＜3-2m，
求得m＜

2

5

，即不等式的解集為（-∞，

2

5

）．

點評：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判斷和證明，利用奇偶性和單調性解不等式，屬于基礎題．