已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F(1,0),離心率為e.
(1)若e=
2
2
,求橢圓方程;
(2)設(shè)直線y=kx(k>0)與橢圓相交于A,B兩點,M,N分別為線段AF,BF的中點,若坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上.
(i)將k表示成e的函數(shù);
(ii)當(dāng)e∈(
2
2
,
3
2
]
時,求k的取值范圍.
分析:(1)利用橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F(1,0),e=
2
2
,建立方程,可得橢圓的幾何量,從而可得橢圓方程;
(2))(i)直線y=kx(k>0)與橢圓方程聯(lián)立,求出A,B的坐標(biāo),利用坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上,可得
OM
ON
=
1
4
[(x1+1)(x2+1)+y1y2]=0
,化簡可得結(jié)論;
(ii)當(dāng)e∈(
2
2
3
2
]
時,結(jié)合(i)的結(jié)論,即可求k的取值范圍.
解答:解:(1)∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F(1,0),e=
2
2
,
c=1
c
a
=
2
2

∴c=1,a=
2

b=
a2-c2
=1
∴橢圓方程為
x2
2
+y2=1
;
(2)(i)直線y=kx(k>0)與橢圓方程聯(lián)立,可得
x2
a2
+
(kx)2
b2
=1

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1=-
a2b2
b2+a2k2
,x2=
a2b2
b2+a2k2

∴y1=-k•
a2b2
b2+a2k2
,y2=k•
a2b2
b2+a2k2

∵坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上
OM
ON
=
1
4
[(x1+1)(x2+1)+y1y2]=0

(-
a2b2
b2+a2k2
+1)(
a2b2
b2+a2k2
+1)-k2
a2b2
b2+a2k2
a2b2
b2+a2k2
=0

k2=
b2-a2b2
a2b2-a2

k=±
1-e2
2e2-1
;
(ii)∵e∈(
2
2
3
2
]
,∴2e2-1∈(0,
1
2
]

設(shè)
2e2-1
=t,則t∈(0,
2
2
]

k=±
1-t2
2t
,∴|k|=
1-t2
2t

∵t∈(0,
2
2
]
,∴
1-t2
2t
∈[
2
4
,+∞)

k≥
2
4
k≤-
2
4
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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