已知a＞0且a≠1，數(shù)列｛an｝是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，設(shè)bn=anlgan，問是否存在a，對任意自然數(shù)n,數(shù)列｛bn｝中的每一項總小于它后面的所有的項?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解：對任意自然數(shù)n，要使｛bn｝中的每一項總小于它后面所有的項的充要條件是bn＜bn+1對一切n∈N均成立.

    由已知an=an，bn=anlgan=anlgan=nanlga，bn+1=(n+1)·an+1lga，則

bn+1-bn=［(n+1)a-n］·anlga.

①當(dāng)a＞1時，lga＞0，an＞0，(n+1)a-n＞(n+1)-n＞0,∴當(dāng)a＞1時，bn＜bn+1對一切n∈N成立；

②當(dāng)0＜a＜1時，lga＜0，bn+1-bn＞0對一切n∈N

    成立，當(dāng)且僅當(dāng)(n+1)a-n＜0對一切n∈N成立，即a＜(n∈N)，而≥，故只要a＜即可.

    綜上所述，存在實數(shù)a∈(0,)∪(1，+∞)，使｛bn｝中的任一項都小于它后面的所有項.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，設(shè)p：函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增，q：設(shè)函數(shù)y=
2x-2a，(x≥2a)
2a，(x＜2a)
，函數(shù)y≥1恒成立，若p∧q為假，p∨q為真，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•普陀區(qū)二模）已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）-m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，則使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解時的k的取值范圍為
（-∞，-1）∪（0，1）
（-∞，-1）∪（0，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）試討論函數(shù)F（x）在定義域D上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：普陀區(qū)二模 題型：解答題

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
1
1-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）-m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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