Question

某城市為了解決人民路擁擠現(xiàn)象，政府決定建設(shè)高架公路，該高架公路兩端的橋墩及引橋已建好，這兩橋墩相距1280米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個橋墩的工程費(fèi)用為32萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+

x

)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元．
（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）政府至少還需投入多少萬元資金才能啟動此工程建設(shè)，此時新建橋墩有多少個？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意設(shè)需要新建n個橋墩，得出n與x的關(guān)系式，再結(jié)合題意即可寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f'（x）＜0，f（x）減函數(shù)，當(dāng)f'（x）＞0．f（x）為增函數(shù)進(jìn)而得出f（x）的最小值，從而解決問題．

解答：解：（1）設(shè)需要新建n個橋墩，（n+1）x=1280，即n=

1280

x

-1（2分）
所以y=f(x)=32n+(n+1)(2+

x

)x（5分）
=

40960

x

+1280

x

+2528（0＜x＜1280）（6分）
（2）由（1）知，f′(x)=-

40960

x2

+640x

3

2

=

640

x2

(x

3

2

-64)（8分）
令f'（x）=0，得x

3

2

=64，所以x=16（9分）
當(dāng)0＜x＜16時f'（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，16）內(nèi)為減函數(shù)；（10分）
當(dāng)16＜x＜1280時，f'（x）＞0．f（x）在區(qū)間（16，1280）內(nèi)為增函數(shù)，（11分）
所以f（x）在x=16處取得最小值f（16）=10208萬元（12分）
此時，n=

1280

x

-1=79（14分）
故政府至少還需投入10208萬元資金此時新建橋墩有79個．（15分）

點(diǎn)評：本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識解決實際問題的能力．屬于基礎(chǔ)題．