Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）設(shè)a=2，函數(shù)g（x）的定義域為[-63，-3]，求g（x）的最值；
（2）求使f（x）＞g（x）的x的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求函數(shù)的最值；（2）要按a＞1和0＜a＜1分類討論，把解對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組．

解答： 解：（1）當a=2時，g（x）=log₂（1-x），
在[-63，-3]上為減函數(shù)，因此當x=-3時，g（x）的最小值為2，
當x=-63時，g（x）的最大值為6．
（2）當a＞1時，log_a（1+x）＞log_a（1-x），
滿足

1+x＞1-x 1+x＞0 1-x＞0

∴0＜x＜1
當0＜a＜1時，log_a（1+x）＞log_a（1-x），
滿足

1+x＜1-x 1+x＞0 1-x＞0

∴-1＜x＜0
綜上：當a＞1時，解集為{x|0＜x＜1}，
     當0＜a＜1時，解集為{x|-1＜x＜0}．

點評：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值和值域是常用的一種方法；在解對數(shù)不等式時，當?shù)讛?shù)含有字母時要按底數(shù)進行分類討論，在轉(zhuǎn)化不等式時要注意真數(shù)大于0．