【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求
在
處的切線方程;
(2)令,已知函數(shù)
有兩個極值點
,且
,
①求實數(shù)的取值范圍;
②若存在,使不等式
對任意
(取值范圍內(nèi)的值)恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)①
;②
【解析】
(1)求出導(dǎo)數(shù),計算
,
,由點斜式寫出切線方程并整理成一般式.
(2)①求出,由
,可得
有兩個滿足題意的不等實根,由二次方程根的分布可得
的取值范圍;②由①求出兩極值點,確定
的單調(diào)性,得
在
單調(diào)遞增,因此題設(shè)中
使不等式成立,取
的最大值
,使之成立即可,化簡為不等式
,對任意的
恒成立,引入函數(shù)
,由導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性得不等式成立的條件.
(1)當時,
,
,
時,
,
,
在
處的切線方程為
,
化簡整理可得.
(2)①對函數(shù)求導(dǎo)可得,,
令可得
,
,
解得實數(shù)的取值范圍為
.
②由,解得
,
而在
上遞增,在
上遞減,在
上遞增,
,
,
在
單調(diào)遞增,
在
上,
,
,使不等式
,
對恒成立,等價于不等式
恒成立,
即不等式對任意的
恒成立.
令,
則,
當時,
,
在
上遞減,即
,不合題意.
當時,
,
若,即
時,則
在
上遞減,
,
時,
不能恒成立;
若,即
時,
則在
上遞增,
恒成立,
實數(shù)
的取值范圍
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓將圓
的圓周分為四等份,且橢圓
的離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓
交于不同的兩點
,且
的中點為
,線段
的垂直平分線為
,直線
與
軸交于點
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
為直線
的傾斜角),以坐標原點
為極點,以
軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)寫出曲線的直角坐標方程,并求
時直線
的普通方程;
(2)直線和曲線
交于兩點
,點
的直角坐標為
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)分別是橢圓
的左、右焦點,已知橢圓的長軸為
是橢圓
上一動點,
的最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線
交橢圓
于
兩點,
為橢圓
上一點,
為坐標原點,且滿足
,其中
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xex,g(x)=a(lnx+x).
(1)當a=e時,求證:f(x)≥g(x)恒成立;
(2)當a>0時,求證:f(x)≤g(x)+1恒有解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中
是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若,
,證明
;
(2)是否存在實數(shù),使得函數(shù)
在區(qū)間
上有兩個零點?若存在,求出
的取值范圍:若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊半圓形空地,開發(fā)商計劃建造一個矩形游泳池及左右兩側(cè)兩個大小相同的矩形休息區(qū),其中半圓的圓心為
,半徑為
,矩形
的一邊
在
上,矩形
的一邊
在
上,點
在圓周上,
在直徑上,且
,設(shè)
.若每平方米游泳池的造價與休息區(qū)造價之比為
.
(1)記游泳池及休息區(qū)的總造價為,求
的表達式;
(2)為進行投資預(yù)算,當為何值時,總造價最大?并求出總造價的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為
,點
是拋物線
上一點,且滿足
.
(1)求、
的值;
(2)設(shè)、
是拋物線
上不與
重合的兩個動點,記直線
、
與
的準線的交點分別為
、
,若
,問直線
是否過定點?若是,則求出該定點坐標,否則請說明理由.
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