【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的零點;
(2)設函數(shù)的圖象與函數(shù)
的圖象交于
,
兩點,求證:
;
(3)若,且不等式
對一切正實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.
【答案】(1)x=1 (2)證明見解析 (3)
【解析】
(1)令,根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進而求解;
(2)轉(zhuǎn)化思想,要證
,即證
,即證
,構(gòu)造函數(shù)進而求證;
(3)不等式 對一切正實數(shù)
恒成立,
,設
,分類討論進而求解.
解:(1)令,所以
,
當時,
,
在
上單調(diào)遞增;
當時,
,
在
單調(diào)遞減;
所以,所以
的零點為
.
(2)由題意,
,
要證
,即證
,即證
,
令,則
,由(1)知
,當且僅當
時等號成立,所以
,
即,所以原不等式成立.
(3)不等式 對一切正實數(shù)
恒成立,
,
設,
,
記,△
,
①當△時,即
時,
恒成立,故
單調(diào)遞增.
于是當時,
,又
,故
,
當時,
,又
,故
,
又當時,
,
因此,當時,
,
②當△,即
時,設
的兩個不等實根分別為
,
,
又,于是
,
故當時,
,從而
在
單調(diào)遞減;
當時,
,此時
,于是
,
即 舍去,
綜上,的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,
平面
,垂足為H,給出下面結(jié)論:
①直線與該正方體各棱所成角相等;
②直線與該正方體各面所成角相等;
③過直線的平面截該正方體所得截面為平行四邊形;
④垂直于直線的平面截該正方體,所得截面可能為五邊形,
其中正確結(jié)論的序號為( �。�
A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①②③
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系的原點為極點,
軸正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線
的參數(shù)方程為
,(
為參數(shù),
),曲線
的極坐標方程為
.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)設直線與曲線
相交于
,
兩點,當
變化時,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,
分別為雙曲線
的左、右焦點,以
為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為
,
,設四邊形
的周長為
,面積為
,且滿足
,則該雙曲線的離心率為______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地有兩個國家AAAA級景區(qū)—甲景區(qū)和乙景區(qū).相關(guān)部門統(tǒng)計了這兩個景區(qū)2019年1月至6月的客流量(單位:百人),得到如圖所示的莖葉圖.關(guān)于2019年1月至6月這兩個景區(qū)的客流量,下列結(jié)論正確的是( )
A.甲景區(qū)客流量的中位數(shù)為13000
B.乙景區(qū)客流量的中位數(shù)為13000
C.甲景區(qū)客流量的平均值比乙景區(qū)客流量的平均值小
D.甲景區(qū)客流量的極差比乙景區(qū)客流量的極差大
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點是橢圓
的右焦點,點
,
分別是
軸,
軸上的動點,且滿足
.若點
滿足
(
為坐標原點).
(Ⅰ)求點的軌跡
的方程;
(Ⅱ)設過點任作一直線與點
的軌跡交于
,
兩點,直線
,
與直線
分別交于點
,
,試判斷以線段
為直徑的圓是否經(jīng)過點
?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設計,可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形
繞底邊
上的高所在直線
旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓
的半徑為
,設
,圓錐的側(cè)面積為
.
(1)求關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了達到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積最大.求
取得最大值時腰
的長度.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左、右焦點分別為
,
,過
且垂直于
軸的焦點弦的弦長為
,過
的直線
交橢圓
于
,
兩點,且
的周長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線,
互相垂直,直線
過
且與橢圓
交于點
,
兩點,直線
過
且與橢圓
交于
,
兩點.求
的值.
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