【答案】
分析:(1)利用|f(x)|的最大值為M,絕對值不等式|a-b|+|a+b|≥|2a|推出
.
(2)利用(1)的條件和結(jié)論對-b,1+a+b,1-a+b討論,求出求出a、b的值,確定f(x)的表達(dá)式.
解答:解:(1)f(x)=x
2+ax+b
M≥|f(0)|=|b|
M≥|f(1)|=|1+a+b|
M≥|f(-1)|=|1-a+b|
4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|(-2b)+(1+a+b)+(1-a+b)|=2
M≥
[-b,1+a+b,1-a+b同號時取等號]
(2)I.若-b,1+a+b,1-a+b均≥0,M=
,則:
1+a+b≤
…①
1-a+b≤
…②
-b≤
…③
①+②:2+2b≤1,b≤-
③:b≥-
∴b=-
代回①:a≤0,②:a≥0
∴a=0
f(x)=x
2-
II.若-b,1+a+b,1-a+b均<0,M=
,則:
0>1+a+b≥-
…①
0>1-a+b≥-
…②
0>-b≥-
…③
①+③:0>1+a≥-1,-2≤a<-1
②+③:0>1-a≥-1,1<a≤2
無解
綜上:f(x)=x
2-
點評:本題考查一元二次不等式的應(yīng)用,絕對值不等式的證明,分類討論思想,是中檔題.