Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的范圍；

（2）討論的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

【解析】試題分析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與零點個數(shù)以及分類討論思想的應(yīng)用；(1)作差，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，再通過函數(shù)的圖象進(jìn)行求解；(2)求導(dǎo)，確定導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，討論兩零點的大小進(jìn)行求解.

試題解析：（1）當(dāng)時， ，

故，令，

則，

故當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， ； ， ，故.

（2）因為，所以.

當(dāng)時， 恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， 時， ， 時， ，當(dāng)時， ，

故函數(shù)在上遞減，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時， 時， ， 時， ，當(dāng)時， ；

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.