Question

16．在兩個正數a，b之間插入一個數x，可使得a，x，b成等差數列，若插入兩個數y，z，可使得a，y，z，b成等比數列，求證：x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．

Answer 1

分析 y，z為正數，可得$\sqrt{（y+1）（z+1）}$≤$\frac{y+1+z+1}{2}$，要證明x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．（x＞0）．只要證明：2x≥y+z即可．根據a，x，b成等差數列，a，y，z，b成等比數列，a，b＞0．可得2x=a+b，$y=\root{3}{{a}^{2}b}$，z=$\root{3}{a^{2}}$．
令$\root{3}{a}$=m＞0，$\root{3}$=n＞0，可得2x≥y+z?m³+n³≥m²n+mn²?（m-n）²≥0，

解答 證明：∵y，z為正數，∴$\sqrt{（y+1）（z+1）}$≤$\frac{y+1+z+1}{2}$，
要證明x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．（x＞0）．
只要證明：2x≥y+z即可．
∵a，x，b成等差數列，a，y，z，b成等比數列，a，b＞0，
∴2x=a+b，$y=\root{3}{{a}^{2}b}$，z=$\root{3}{a^{2}}$．
令$\root{3}{a}$=m＞0，$\root{3}$=n＞0，
則2x≥y+z?m³+n³≥m²n+mn²．
?（m-n）²≥0，
上式顯然成立，
因此：x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、基本不等式的性質、分析法與綜合法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．