Question

如圖所示，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，且∠BAD=45°，以BD為折線，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，連接AC．

（1）求異面直線AD與BC所成角大��；
（2）求二面角B-AC-D平面角的大�。� 
（3）求四面體ABCD外接球的體積．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得BD=2，AB⊥BD，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD與BC所成角．
（2）分別求出平面ABC的法向量和面DAC的法向量，利用向量法能求出二面角B-AC-D的大�。�
（3）由四面體ABCD的外接球球心在AD中點，由此能求出四面體ABCD外接球的體積．

解答： 解：（1）在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos45°=4，
解得BD=2，∴AB⊥BD，
在四面體ABCD中，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，
過D垂直于平面BDC的射線為z軸，建立如圖空間直角坐標系，
則D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
由于

AD

=(-2，0，-2)，

BC

=（-2，2，0），
設(shè)AD與BC所成角為θ，則cosθ=|

AD • BC

| AD |•| BC |

|=

1

2

，
∴θ=60°，
即異面直線AD與BC所成角為60°．
（2）設(shè)平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），
而

BA

=(0，0，2)，

BC

=（-2，2，0），
由

n • BA =2z=0 n • BC =-2x+2y=0

，取

n

=（1，1，0），
再設(shè)平面DAC的法向量為

m

=（x，y，z），
而

DA

=（2，0，2），

DC

=（0，2，0），
由

m • DA =2x+2z=0 m • DC =2y=0

，取

m

=（1，0，-1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

1

2

，
∴二面角B-AC-D的大小是60°．
（3）由于△ABC，△ADC均為直角三角形，
∴四面體ABCD的外接球球心在AD中點，
又AC=2

3

，∴球半徑R=

3

，
∴V_A-BCD=

4

3

πR3=4

3

π．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的平面角的大小的求法，考查四面體的外接球的體積的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．