Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，AD⊥AB，E是PC的中點，PA=BC=2AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求證：DE∥平面PAB；
（2）求證：平面PAD⊥平面PAB；
（3）求三棱錐D-PAC的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PB的中點O，連接OA，OE，四邊形DAOE是平行四邊形，可得DE∥AO，利用線面平行的判定定理，即可證明DE∥平面PAB；
（2）證明DA⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可證得平面PAD⊥平面PAB；
（3）由V_D-PAC=V_P-DAC=V_P-ABC=V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•BC即可求得答案．

解答： （1）證明：取PB的中點O，連接OA，OE，則EO∥BC∥DA，且EO=DA，
∴四邊形DAOE是平行四邊形，
∴DE∥AO，
∵DE?平面PAB，AO?平面PAB，
∴DE∥平面PAB；
（2）證明：∵BC⊥PB，
∴DA⊥PB，
∵AD⊥AB且AB∩PB=B，
∴DA⊥平面PAB，
又∵DA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB；
（2）∵V_D-PAC=V_P-DAC=V_P-ABC=V_C-PAB，
由（1）知DA⊥平面PAB，且AD∥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•BC=

1

3

×

1

2

PA×ABsin∠PAB•BC=

1

6

×1×2×

3

2

×1=

3

6

點評：本題考查線面平行，考查平面與平面垂直的判定，考查棱錐的體積，著重考查錐體體積輪換公式的應(yīng)用，突出化歸思想的考查，屬于中檔題．