Question

已知函數f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅱ）設0＜a＜2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分類討論去掉絕對值，轉化為解一元二次不等式組得解集．
（Ⅱ）化簡函數f（x）的解析式，求出函數f（x）的單調區(qū)間及在單調區(qū)間上的單調性，
利用函數在此區(qū)間上的單調性求出函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵x|x-2|＜3?

x≥2 x2-2x-3＜0

或

x＜2 x2-2x+3＞0

?2≤x＜3或x＜2，
∴不等式f（x）＜3的解集為{x|x＜3}  （5分）

（Ⅱ）解：f(x)=x|x-2|=

x2-2x=(x-1)2-1，x≥2 -x2+2x=-(x-1)2+1，x＜2.

∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，1]和[2，+∞）；單調遞減區(qū)間是[1，2]，（8分）
（1）當0＜a≤1時，f（x）是[0，a]上的增函數，此時，f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
..（11分）
（2）當1＜a＜2時，f（x）在[0，1]上是增函數，在[1，a]上是減函數，
此時f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1   （14分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，以及利用函數在某區(qū)間上的單調性求函數在此區(qū)間上的最值，體現分類討論的數學思想．