Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是否有零點，若有，求出零點，若沒有，請說明理由；
（Ⅲ）若任意的x₁，x₂∈（1，2）且x₁≠x₂，證明：．（注：ln2≈0.693）

Answer 1

解：（x＞0）．
（Ⅰ） （x＞0）．（2分）
∵，∴，
∴在區(qū)間和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在區(qū)間上f′（x）＜0，
故f（x）的單調遞增區(qū)間是和（2，+∞），單調遞減區(qū)間是．（4分）
（Ⅱ）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．
由（Ⅰ）可知，當時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，故．（6分）
由可知，所以2lna＞-2，所以-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，所以f（x）_max＜0，
故不存在符合條件的a，使得f（x）=0．（8分）
（Ⅲ）證明一：當時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，
只需證明，都成立，即可得證命題成立．（10分）
，設，，
∴g（a）在上是減函數(shù)，
，設，
∴h（a）在上是增函數(shù)，
綜上述命題成立．（12分）
證明二：當時，，x∈（1，2）f′（x）在上單調遞減，在上單調遞增，f′（1）=1-a＞0，f′（2）=0，，
∵，
∴，．（10分）
由導數(shù)的幾何意義，有對任意x₁，x₂∈（1，2），x₁≠x₂．（12分）
分析：（Ⅰ） 先求導函數(shù)，根據(jù)，可得，從而可得在區(qū)間和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在區(qū)間上f′（x）＜0，由此可得f（x）的單調遞增區(qū)間與單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）確定f（x）在x∈[1，2]的最大值，即可判斷不存在符合條件的a，使得f（x）=0；
（Ⅲ）證明一：當時，f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，
只需證明，都成立，即可得證命題成立；
證明二：當時，，x∈（1，2）f′（x）在上單調遞減，在上單調遞增，確定，，利用導數(shù)的幾何意義即可證得結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的零點，考查不等式的證明，解題的關鍵是確定函數(shù)的最值．