Question

【題目】設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，、是上兩點(diǎn).若，且線段的中點(diǎn)到軸的距離等于.

（1）求的值；

（2）設(shè)直線與交于、兩點(diǎn)且在軸的截距為負(fù)，過作的垂線，垂足為，若.

（i）證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（ii）求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）證明見解析；定點(diǎn)（ii）（且）

【解析】

（1）過和分別作軸的垂線，垂足分別為、，根據(jù)拋物線的定義得到，，利用建立p的方程，再根據(jù)線段的中點(diǎn)到軸的距離等于，有聯(lián)立求解.

（2）設(shè)的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，由得到，將韋達(dá)定理代入，解得，（i）直線恒過定點(diǎn).（ii）由知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，再根據(jù)和斜率存在確定范圍.

（1）過和分別作軸的垂線，垂足分別為、，則，，

因?yàn)榫�段的中點(diǎn)到軸的距離等于，

所以，即，

又因?yàn)?/span>，所以.

（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為，代入拋物線方程得，

由得，（*），

設(shè)，，則.

由得，，即，

把代入得，解得或（舍去），

（i）于是直線恒過定點(diǎn).

（ii）由知，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，該圓的方程為，

根據(jù)（*）得，從而取圓在軸的上方部分，又直線的斜率存在，

因此應(yīng)剔除與軸的交點(diǎn)，

故點(diǎn)的軌跡方程為（且）.