Question

已知f（x-1）=x+x²+x³+…+xⁿ，記f（x）的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為S_n，x³項(xiàng)的系數(shù)為T(mén)_n，則

lim

n→∞

Tn

Sn2

=

 

．

Answer 1

分析：通過(guò)換元先求出f（x），再求出展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)及x³項(xiàng)的系數(shù)，利用組合數(shù)的性質(zhì)：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m化簡(jiǎn)兩個(gè)系數(shù)，化簡(jiǎn)后的值代入極限式求出值．

解答：解：令x-1=t則x=t+1
∴f（t）=（t+1）+（t+1）²+（t+1）³+…+（t+1）ⁿ
∴f（x）=（x+1）+（x+1）²+（x+1）³+…+（x+1）ⁿ
∴s_n=1+C₂¹+C₃¹+…+C_n¹
=

C

2 n+1

=

(n+1)n

2

T_n=C₃³+C₄³+…+C_n³=C_n+1⁴

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

1×2×3×4

∴

lim

n→∞

Tn

Sn2

=

lim

n→∞

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) 1×2×3×4

( (n+1)n 2 )2

=

1

6

故答案為

1

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用換元法求出還是解析式；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)的系數(shù)；利用組合數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)組合數(shù)的和．