Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值

（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用參變分離可得在有且只有一個(gè)根，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在的值域，即可得到答案；

（2）利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)分成和兩種情況討論.

（1）由題意得在有且只有一個(gè)根，

令，則，

當(dāng)，，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）令，，

，即在恒成立，

令，則，

①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，

在恒成立，在單調(diào)遞增，且，

恒成立，

時(shí)在恒成立；

②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，時(shí)，，

設(shè)存在兩根，且，

在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

若時(shí)，，

則，解得：，

；

若時(shí)，，

則，解得：（舍去），

綜上所述：.