如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).
(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的余弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長(zhǎng).
(方法一)(1)證明:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
易得=(1,0,-1),
=(-1,1,-1),于是
·
=0,
所以B1C1⊥CE.
(2)=(1,-2,-1).
設(shè)平面B1CE的法向量m=(x,y,z),
則即
消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一個(gè)法向量為m=(-3,-2,1).
由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,
故=(1,0,-1)為平面CEC1的一個(gè)法向量.
于是cos〈m,〉=
,
因?yàn)槎娼荁1-CE-C1的平面角是銳角
所以二面角B1-CE-C1的余弦值為.
(3)=(0,1,0),
=(1,1,1).
設(shè)=λ
=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有
=
+
=(λ,λ+1,λ).
可取=(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量.
設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則
sin θ=|cos〈,
〉|=
=.
于是,解得
,
所以AM=.
(方法二) (1)證明:因?yàn)閭?cè)棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,
所以CC1⊥B1C1.
經(jīng)計(jì)算可得B1E=,B1C1=
,EC1=
,
從而B(niǎo)1E2=,
所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,
又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E=C1,
所以B1C1⊥平面CC1E,
又CE平面CC1E,故B1C1⊥CE.
(2)過(guò)B1作B1G⊥CE于點(diǎn)G,連接C1G.
由(1),B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,
所以∠B1GC1為二面角B1-CE-C1的平面角.
在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=
.
在Rt△B1C1G中,B1G=,
所以二面角B1-CE-C1的余弦值為.
(3)連接D1E,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥ED1于點(diǎn)H,可得MH⊥平面ADD1A1,連接AH,AM,則∠MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角.
設(shè)AM=x,從而在Rt△AHM中,有MH=,AH=
.
在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=
.
在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,
由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得,
整理得5x2--6=0,解得x=
.
所以線段AM的長(zhǎng)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
某校對(duì)參加高校自主招生測(cè)試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練,從中抽出N名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.已知成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2人。
(1)求N的值并估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù);
(2)學(xué)校從成績(jī)?cè)赱70,100]的三組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取12名學(xué)生進(jìn)行復(fù)試,若成績(jī)?cè)赱80,90)這一小組中被抽中的學(xué)生實(shí)力相當(dāng),且能通過(guò)復(fù)試的概率均為,設(shè)成績(jī)?cè)赱80,90)這一小組中被抽中的學(xué)生中能通過(guò)復(fù)試的人數(shù)為
,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),且若滿足(x-1)
>0,則必有 ( )
A、f(0)+f(2)2f(1) B、f(0)+f(2)2f(1)
C、f(0)+f(2)>2f(1) D、f(0)+f(2)2f(1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球.從箱中一次摸出兩個(gè)球,記下號(hào)碼并放回,如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù),則獲獎(jiǎng).現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)(每人一次),則恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
將10個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于一個(gè),求放法總數(shù)是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù),則這兩個(gè)數(shù)( )
A.一個(gè)是正數(shù),一個(gè)是負(fù)數(shù) B.兩個(gè)都是正數(shù)
C.至少有一個(gè)數(shù)是正數(shù) D.兩個(gè)都是負(fù)數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
若函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R。
(1)若函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)x∈(0,e](e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),函數(shù)g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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