如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).

(1)證明B1C1⊥CE;

(2)求二面角B1-CE-C1的余弦值;

(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長(zhǎng).


(方法一)(1)證明:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,

所以B1C1⊥CE.

(2)=(1,-2,-1).

設(shè)平面B1CE的法向量m=(x,y,z),

消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一個(gè)法向量為m=(-3,-2,1).

由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,

=(1,0,-1)為平面CEC1的一個(gè)法向量.

于是cos〈m,〉=,

因?yàn)槎娼荁1-CE-C1的平面角是銳角

所以二面角B1-CE-C1的余弦值為.

(3)=(0,1,0),=(1,1,1).

設(shè)=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=(λ,λ+1,λ).

可取=(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量.

設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則

sin θ=|cos〈〉|=

.

于是,解得,

所以AM=.

(方法二) (1)證明:因?yàn)閭?cè)棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,

所以CC1⊥B1C1.

經(jīng)計(jì)算可得B1E=,B1C1=,EC1=,

從而B(niǎo)1E2=

所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,

又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E=C1,

所以B1C1⊥平面CC1E,

又CE平面CC1E,故B1C1⊥CE.

(2)過(guò)B1作B1G⊥CE于點(diǎn)G,連接C1G.

由(1),B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,

所以∠B1GC1為二面角B1-CE-C1的平面角.

在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.

在Rt△B1C1G中,B1G=,

所以二面角B1-CE-C1的余弦值為.

 (3)連接D1E,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥ED1于點(diǎn)H,可得MH⊥平面ADD1A1,連接AH,AM,則∠MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角.

設(shè)AM=x,從而在Rt△AHM中,有MH=,AH=.

在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=.

在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,

由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得,

整理得5x2--6=0,解得x=.

所以線段AM的長(zhǎng)為.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


某校對(duì)參加高校自主招生測(cè)試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練,從中抽出N名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.已知成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2人。

(1)求N的值并估計(jì)這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù);

(2)學(xué)校從成績(jī)?cè)赱70,100]的三組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取12名學(xué)生進(jìn)行復(fù)試,若成績(jī)?cè)赱80,90)這一小組中被抽中的學(xué)生實(shí)力相當(dāng),且能通過(guò)復(fù)試的概率均為,設(shè)成績(jī)?cè)赱80,90)這一小組中被抽中的學(xué)生中能通過(guò)復(fù)試的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.


查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),且若滿足(x-1)>0,則必有     (     )                                                       

A、f(0)+f(2)2f(1)        B、f(0)+f(2)2f(1)

C、f(0)+f(2)>2f(1)        D、f(0)+f(2)2f(1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球.從箱中一次摸出兩個(gè)球,記下號(hào)碼并放回,如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù),則獲獎(jiǎng).現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)(每人一次),則恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是(  )

A.     B.      C.             D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


將10個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于一個(gè),求放法總數(shù)是____________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù),則這兩個(gè)數(shù)(    )

       A.一個(gè)是正數(shù),一個(gè)是負(fù)數(shù)                          B.兩個(gè)都是正數(shù)

C.至少有一個(gè)數(shù)是正數(shù)                                D.兩個(gè)都是負(fù)數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


若函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(   )

       A.             B.                    C.                   D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


某幾何體的三視圖如下圖所示,則該幾何體的體積為(   )

A.12      B.24      C.30      D.48

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R。

(1)若函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)x∈(0,e](e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),函數(shù)g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說(shuō)明理由.


查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案