Question

如圖，圓C通過不同的三點(diǎn)P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），且圓C在點(diǎn)P處的切線的斜率為1，
（Ⅰ）試求圓C的方程．
（Ⅱ）若點(diǎn)A、B是圓C上不同兩點(diǎn)，且滿足

CP

•

CA

=

CP

•

CB

．
（1）試求直線AB的斜率；
（2）若原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求直線AB在y軸上的截距的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線的斜率,圓的一般方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，根據(jù)圓C通過不同的三點(diǎn)P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），PC的斜率為-1，求出D，E，F(xiàn)，即可求圓C的方程．
（Ⅱ）（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

CP

•

CA

=

CP

•

CB

，可得x₁-y₁=x₂-y₂，即可求直線AB的斜率；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=x+t，代入圓C的方程為x²+y²+x+5y-6=0得2x²+（2t+6）x+t²+5t-6=0，由題意△＞0，解得-7＜t＜4，根據(jù)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，可得

OA

•

OB

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，從而可求直線AB在y軸上的截距的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-

D

2

，-

E

2

)，且PC的斜率為-1，（3分）
因?yàn)閳AC通過不同的三點(diǎn)P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1）
所以有

1+E+F=0 4+2D+F=0 - D 2 = 2+m 2 - E 2 -0 - D 2 -m =-1

解之得

D=1 E=5 F=-6 m=-3

（8分）
所以圓C的方程為x²+y²+x+5y-6=0
（Ⅱ）（1）因?yàn)?span id="a4acmiu" class="MathJye">C(-

1

2

，-

5

2

)，P（-3，0），
所以

CP

=(-

5

2

，

5

2

)
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

CA

=(x1+

1

2

，y1+

5

2

)，

CB

=(x2+

1

2

，y2+

5

2

)（10分）
由

CP

•

CA

=

CP

•

CB

，
得-

5

2

(x1+

1

2

)+

5

2

(y1+

5

2

)=-

5

2

(x2+

1

2

)+

5

2

(y2+

5

2

)，
即x₁-y₁=x₂-y₂，∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=1．
（2）設(shè)直線AB在y軸上的截距為t，則直線AB的方程為y=x+t，
代入圓C的方程為x²+y²+x+5y-6=0得2x²+（2t+6）x+t²+5t-6=0（*）
由題意△=（2t+6）²-8（t²+5t-6）=-4t²-16t+84＞0，解得-7＜t＜4，
又原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，
所以

OA

•

OB

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，（14分）
所以x₁x₂+（x₁+t）（x₂+t）＜0，由（*）知，x1x2=

1

2

(t2+5t-6)，x₁+x₂=-t-3，
代入整理得，t²+2t-6＜0，解得-

7

-1＜t＜

7

-1，
綜上，-

7

-1＜t＜

7

-1．（16分）

點(diǎn)評：本題考查圓的一般方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．