【題目】已知點在平行于
軸的直線
上,且
與
軸的交點為
,動點
滿足
平行于
軸,且
.
(1)求出點的軌跡方程.
(2)設(shè)點,
,求
的最小值,并寫出此時
點的坐標.
(3)過點的直線與
點的軌跡交于
.
兩點,求證
.
兩點的橫坐標乘積為定值.
【答案】(1)點的軌跡方程為
;(2)最小值為7,
點坐標為
;(3)證明見解析
【解析】
(1)設(shè)出點坐標,由此求出
點坐標,利用
則
列方程,化簡后求得
點的軌跡方程.
(2)由于是拋物線
的焦點,根據(jù)拋物線的定義可知
、
、
三點共線時
的值最小,由
點坐標和準線方程,求得最小值以及
點的坐標.
(3)設(shè)出過點的直線方程,與
聯(lián)立,利用韋達定理證得兩點的橫坐標乘積為定值
.
(1)設(shè)動點,則由已知有
,
故,
,
因為,所以
,
所以,
即:.
(2)由題意,點為拋物線
的焦點,故
即為點
到準線
的距離,
所以、
、
三點共線時
的值最小,
即為點到準線
的距離, 所以最小值為7,
此時點的縱坐標為點
的縱坐標
,代入
,
,
所以所求最小值為7,此時點的坐標為
.
(3)由題意可設(shè)點.
過點
的直線為
與
聯(lián)立得:
,
所以,
所以 ,
所以.
兩點的橫坐標乘積為定值
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四面體中,
,平面
平面
,
,且
.
(1)證明:平面
;
(2)設(shè)為棱
的中點,當(dāng)四面體
的體積取得最大值時,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為
,離心率為
,過
的直線
與橢圓
交于
兩點,且
的周長為
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓
分別交于
兩點,且
,試問點
到直線
的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{n}中
1=3,已知點(
n,
n+1)在直線y=x+2上,
(1)求數(shù)列{n}的通項公式;
(2)若bn=n3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共享單車給市民出行帶來了諸多便利,某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用.據(jù)市場分析,每輛單車的營運累計收入 (單位:元)與營運天數(shù)
滿足
.
(1)要使營運累計收入高于800元,求營運天數(shù)的取值范圍;
(2)每輛單車營運多少天時,才能使每天的平均營運收入最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
.
(1)若直線經(jīng)過拋物線
的焦點,求拋物線
的準線方程;
(2)若斜率為-1的直線經(jīng)過拋物線的焦點
,且與拋物線
交于
,
兩點,當(dāng)
時,求拋物線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以原點為極點,以
軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
,
(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線
的直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)點,曲線
與曲線
交于
兩點,求
的值.
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