Question

有4個(gè)不同的球，四個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)（結(jié)果用數(shù)字表示）．
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個(gè)盒子不放球，有多少種放法？
（3）恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球，有多少種放法？
（4）恰有兩個(gè)盒不放球，有多少種放法？

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,排列組合

分析：（1）一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得到；
（2）先從四個(gè)盒子中任意拿出去1個(gè)，再將4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后再排，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可；
（3）“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事，即可得到；
（4）先從四個(gè)盒子中任意拿走兩個(gè)，問題即為：4個(gè)球，放入兩個(gè)盒子中，每個(gè)不空，有幾種排法？從放球數(shù)目看，可分兩類（3，1），（2，2）．分別求出種數(shù)，由兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，即可得到．

解答： 解：（1）一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨(dú)立的放法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，放法共有：4⁴=256種．                       
（2）為保證“恰有一個(gè)盒子不放球”，先從四個(gè)盒子中任意拿出去1個(gè)，
再將4個(gè)球分成2，1，1的三組，有

C

2 4

種分法；然后再從三個(gè)盒子中選一個(gè)放兩個(gè)球，
其余兩個(gè)球放兩個(gè)盒子，全排列即可．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有放法：

C

1 4

•C

2 4

•

C

1 3

•

A

2 2

=144種．          
（3）“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”，即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒．
因此，“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事．故也有144種放法．
（4）先從四個(gè)盒子中任意拿走兩個(gè)有

C

2 4

種，然后問題轉(zhuǎn)化為：4個(gè)球，放入兩個(gè)盒子中，每個(gè)不空，有幾種排法？從放球數(shù)目看，可分兩類（3，1），（2，2）．
第一類，可從4個(gè)球選3個(gè)，然后放入一個(gè)盒子中，即可，有

C

3 4

•

C

1 2

種；
第二類，有

C

2 4

種，共有

C

3 4

•

C

1 2

+

C

2 4

=14種，
由分步計(jì)數(shù)原理得，恰有兩個(gè)盒不放球，共有6×14=84放法．

點(diǎn)評：本題考查排列組合應(yīng)用題，考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，注意做到不重不漏，同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．