Question

【題目】設函數(shù)\.

（1）若且在處的切線垂直于y軸，求a的值；

（2）若對于任意，都有恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）先求得的導函數(shù),根據(jù)在處的切線垂直于y軸可知在處的導數(shù)等于0,代入即可求得的值.

（2）根據(jù)任意,都有恒成立,則成立,代入可得.結(jié)合函數(shù)單調(diào)性,使得在上滿足單調(diào)遞增且,即可得的取值范圍.再利用構(gòu)造函數(shù)法,證明在時滿足單調(diào)遞增即可.

（1）,則,∴,

∵且在處的切線垂直于y軸,

∴,∴,又

∴

（2）對于任意,都有恒成立,則,所以,

,,,得,所以,即,

下面證明成立,

∴,令,,

∴令,,∴,

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,由,∴,

∴在上單調(diào)遞增,.

當時,,∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,

∴成立,

所以對于任意，都有恒成立.

當時，，而在上單調(diào)遞增,

∴存在唯一的，使得，即，，

且時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，

，而，

令，

∴，

令，得或，

或時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，

∴是的極小值，而，∴當時，有小于0的函數(shù)值，也即是有小于0的函數(shù)值，這與對于任意，都有恒成立，相矛盾，∴當時，不滿足題意，

綜上可得，a的取值范圍是.