Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=；數(shù)列滿足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9項(xiàng)和為153
（1）{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，c_n=，求使不等式T對(duì)?n∈N₊都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

解：（1）∵，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1==n+5
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)n=1時(shí)，上式也適合，
∴a_n=n+5；
∵b_n+2=2b_n+1-b_n，∴，
∴{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．
則解得，
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）∵c_n==
=
∴T_n=（1）+（）+（）+…+（）=1
∵n∈N₊，∴T_n是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n=1時(shí)，（T_n）_min=T₁=1-=
∴對(duì)?n∈N₊都成立，等價(jià)于（T_n）_min成立，
即，解得k＜38
∴所求最大正整數(shù)k的值為37．
分析：（1）由可知，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+5，可得{a_n}的通項(xiàng)，又由已知可得，即{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．有可解得，可得通項(xiàng)；
（2）把（1）的結(jié)果代入可得，由列項(xiàng)相消法可得T_n，進(jìn)而可求得T_n的最小值，只需其最小值（T_n）_min成立即可，解之可得．
點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，涉及求數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和以及恒成立問題，屬中檔題．