Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a．
（1）求A₁B與B₁C所成的角
（2）求點D到B₁C的距離．

Answer 1

分析：（1）連結A₁D、BD，根據(jù)四邊形A₁B₁CD為平行四邊形得A₁D∥B₁C，所以∠BA₁C是異面直線A₁B和B₁C所成的角．然后在等邊△A₁BD得出∠BA₁C=60°，即可得到A₁B與B₁C所成的角；
（2）由正方體的性質得到DC⊥平面BB₁C₁C，從而DC⊥BC₁，所以線段DC的長是D點到B₁C的距離，從而得出
點D到B₁C的距離為a．

解答：解：（1）連結A₁D、BD
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形A₁B₁CD為平行四邊形
∴A₁D∥B₁C，∠BA₁C是異面直線A₁B和B₁C所成的角
又∵A₁D、BD、A₁B都是正方體的面對角線
∴A₁D=BD=A₁B，可得△A₁BD是等邊三角形，得∠BA₁C=60°
∴異面直線A₁B和B₁C所成的角為60°；
（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DC⊥平面BB₁C₁C
∴結合BC₁?平面BB₁C₁C，可得DC⊥BC₁
因此，線段DC的長是D點到B₁C的距離
結合正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，可得D點到B₁C的距離為a．

點評：本題給出正方體，求異面直線所成的角和異面直線的距離．著重考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質和異面直線所成角和距離的求法等知識，屬于中檔題．