已知函數(shù)f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.
(Ⅰ)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點處有相同的切線,求a的值及該切線的方程;
(Ⅱ)設函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當h(x)存在最小值時,求其最小值ψ(a)的解析式;
(Ⅲ)對(Ⅱ)中的ψ(a),證明:當a∈(0,+∞)時,ψ(a)≤1.
解:(Ⅰ),
由已知得,解得,
∴兩條曲線交點的坐標為(e2,e),
切線的斜率為,
∴切線的方程為y-e=(x-e2)。
(Ⅱ)由條件知,

(i)當a>0時,令h′(x)=0,解得x=4a2,
∴當0<x<4a2時,h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上遞減;
當x>4a2時,h′(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上遞增,
∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一極值點,且是極小值點,從而也是h(x)的最小值點,
∴最小值ψ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a);
(ii)當a≤0時,,h(x)在(0,+∞)上遞增,無最小值,
故h(x)的最小值ψ(a)的解析式為ψ(a)=2a(1-ln 2a)(a>0).
(Ⅲ)由(Ⅱ)知ψ(a)=2a(1-ln 2-lna),
,
令ψ′(a)=0,解得,
時,ψ′(a)>0,∴ψ(a)在上遞增;
時,ψ′(a)<0,∴ψ(a)在上遞減,
∴ψ(a)在處取得最大值。
∵ψ(a)在(0,+∞)上有且只有一個極值點,所以也是ψ(a)的最大值,
∴當a∈(0,+∞)時,總有ψ(a)≤1.
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已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(  )
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
1
2
]
C、(
1
3
,
6
11
]
D、[
6
11
,1

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|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實數(shù)a的值為
 

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x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實數(shù)a≠1.
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