Question

已知函數f(x)=

2x

x+1

．
（1）當x≥1時，證明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）若數列{a_n}滿足a1=

2

3

，an+1=f(an)，bn=

1

an

-1，n∈N*，證明數列{b_n}是等比數列，并求出數列{b_n}、{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），證明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）方法一：先證明f（x）-x≤0，再證明lnx≥0，從而不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：構造函數φ（x）=f（x）-x-lnx；利用導數判斷單調性，求出函數最大值φ（1），而φ（1）=0，從而不等式恒成立．
（2）先利用a_n+1=f（a_n）通過取倒數變形，然后根據等比數列的定義，求出公比，從而證得．
（3）利用（2）問中求出的{a_n}的通項公式，代入c_n=a_n•a_n+1•b_n+1中，并用分離法拆成兩項之差，然后用疊加法即可解答．

解答：解：（1）方法一：∵x≥1，∴f(x)-x=

2x

x+1

-x=

2x-x2-x

x+1

=

-x(x-1)

x+1

≤0
而x≥1時，lnx≥0∴x≥1時，f（x）-x≤lnx，∴當x≥1時，f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：令φ（x）=f（x）-x-lnx（x≥1），φ(x)=

2x

x+1

-x-lnx=2-

2

x+1

-x-lnx，φ′(x)=

2

(x+1)2

-1-

1

x

，∵x≥1，∴

2

(x+1)2

≤

1

2

，∴φ′(x)=

2

(x+1)2

-1-

1

x

＜0，
故φ（x）是定義域[1，+∞）上的減函數，∴當x≥1時，φ（x）≤φ（1）=0恒成立．
即當x≥1時，

2x

x+1

≤x+lnx恒成立．∴當x≥1時，f（x）≤x+lnx恒成立．（4分）
（2）a_n+1=f（a_n），∴an+1=

2an

an+1

?

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，∵bn=

1

an

-1，n∈N*，
∴

bn+1

bn

=

1 an+1 -1

1 an -1

=

1 2 + 1 2an -1

1 an -1

=

1 2an - 1 2

1 an -1

=

1

2

(n∈N*)，
又b1=

1

a1

-1=

1

2

，∴b_n是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，其通項公式為bn=

1

2n

．
又bn=

1

an

-1，n∈N*，an=

1

bn+1

=

1

1 2n +1

=

2n

2n+1

(n∈N*)．（10分）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=

2n

2n+1

×

2n+1

2n+1+1

×

1

2n+1

=

2n

2n+1

×

1

2n+1+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，c1+c2+c3+…+cn=(

1

21+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．

點評：此題考查函數導數的應用，等比數列常規(guī)證明及裂項后用疊加的方法．