Question

已知函數(shù)圖像上點處的切線與直線平行（其中），     

(I）求函數(shù)的解析式；

(II）求函數(shù)上的最小值；

(III）對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（I） （II） .

（III）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（I）由點處的切線方程與直線平行，得該切線斜率為2，即

又所以 4分

（II）由（I）知，顯然當所以函數(shù)上單調(diào)遞減.當時，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，

①

②時，函數(shù)上單調(diào)遞增，

因此        7分

所以  10分

（III）對一切恒成立，又

即設

則由

單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減，

單調(diào)遞增，

所以

因為對一切恒成立，

故實數(shù)的取值范圍為  14分 

考點：導數(shù)的幾何意義，直線方程，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極（最）值，不等式恒成立問題。

點評：難題，本題（1）較為簡單，主要利用“曲線切線的斜率，等于在切點的導函數(shù)值”。本題（2）主要利用“在給定區(qū)間，導函數(shù)值非負，函數(shù)為增函數(shù)；導函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（3）作為不等式恒成立問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值），使問題得到解決。