Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍..

Answer 1

【答案】（1）當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；當時，在區(qū)間上單調遞增；（2）

【解析】

（1）函數求導對參數進行討論得到函數單調性

（2）對進行符號討論，研究單調性解決恒成立問題；也可分離參數

不等式恒成立問題轉化為函數最值問題，構造函數，利用導數求最值可解.

（1）由題意，函數的定義域為.

則.

（i）當，那時，

令，得，得，得，得.

又因為，所以；令，得；

所以函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；

（ii）當，即時，，

又由，得，所以.即對任意恒成立，所以函數在區(qū)間上單調遞增；

綜上，當時，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；

當時，函數在區(qū)間上單調遞增.

（2）方法一，由（1）可知，

①當時，函數在區(qū)間上單調遞增，所以函數在區(qū)間上單調遞增.

所以函數在區(qū)間上的最小值為，

最大值為；

②當時，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；

（i）當，即時，函數在區(qū)間上單調遞減，所以函數在區(qū)間上的最小值為，最大值；

（ii）當，即時，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；所以函數在區(qū)間上最大值為；

而最小值需要比較與的大��；

因為，

所以當，即，也即時，，此時函數在區(qū)間上的最小值為；

當，即時，，

此時函數在區(qū)間上的最小值為；

當，即時，，此時函數在區(qū)間上的最小值為；

（iii）當，即時，函數在區(qū)間上單調遞增，所以函數在區(qū)間上的最小值為，最大值為；

若不等式對任意恒成立，則且.

綜上所述，當時，函數的區(qū)間上的最小值為，

最大值為；此時，且，解得；

當時，函數在區(qū)間上的最小值為，

此時，不符合題意，舍去；

當時，函數在區(qū)間上的最小值為，

最大值為；此時，且，

解得.但此時，與前提條件不符合，故無解，舍去；

當時，函數在區(qū)間上的最小值為，此時最小值，而，不符合題意，舍去.

綜上所述，實數的取值范圍是.

方法二 已知.

由，∴，

令，則，

顯然當時，，在上單調遞增，

∴.

由，∴，

令，則.

令，顯然在上單調遞減.

∵，，∴在上必存在一點，使得，

∴當時，，即，∴在上單調遞增，

當時，，即，∴在上單調遞減.

∴在上的最小值只可能在端點處的取得.

∵，，∴.∴.

綜上所述.