Question

已知橢圓的焦點是F₁（-4，0）、F₂（4，0），過F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|+|F₂B|=10，橢圓上的不同兩點A（x₁，y₁）、C （x₂，y₂）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若弦AC中點的橫坐標為4，設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據題意和橢圓定義求出a、c的值，再求出b的值，代入橢圓的標準方程；
（2）設弦AC中點P的坐標是（4，y₀），根據點差法、中點坐標公式化簡得：9×8×（x₁-x₂）+25×2y₀×（y₁-y₂）=0，由弦AC的垂直平分線的方程得：

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

，代入上式化簡求出k，把點P的坐標代入弦AC的垂直平分線的方程求出m，再由中點的橫坐標為4求出y₀的范圍，進而求出m的范圍．

解答： 解：（1）由橢圓定義知，2a=|F₁B|+|F₂B|=10，得a=5，
又c=4，所以b=

a2-c2

=3，
則橢圓的方程為：

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）設弦AC中點P的坐標是（4，y₀），
所以x₁+x₂=8，y₁+y₂，=2y₀，
因為A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在橢圓上，
所以9x₁²+25y₁²=9×25，①
9x₂²+25y₂²=9×25，②
由①-②得，9（x₁²-x₂²）+25（y₁²-y₂²）=0，
9（x₁-x₂）（x₁+x₂）+25（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
所以9×8×（x₁-x₂）+25×2y₀×（y₁-y₂）=0，③
因為弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，中點P的坐標是（4，y₀），
所以k≠0，即x₁≠x₂，則

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

，
則③化為：36+25×y₀×（-

1

k

）=0，解得k=

25y0

36

，
由點P（4，y₀）在弦AC的垂直平分線上得，y₀=4k+m，
所以m=y₀-4k=y₀-

25y0

9

=-

16y0

9

，
由點B（4，y_B）在橢圓上，解得y_B=±

9

5

，
所以-

9

5

＜y₀＜

9

5

，則-

16

5

＜-

16y0

9

＜

16

5

，
所以m的取值范圍是：-

16

5

＜m＜

16

5

．

點評：本題考查橢圓定義、標準方程，點差法解決弦的中點問題，以及橢圓內部的點的坐標范圍問題，考查化簡計算能力．