Question

已知橢圓C：，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心I，且有（其中λ為實(shí)數(shù)）
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)M、N，若△F₁MN面積的最大值為3，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出重心G的坐標(biāo)，由向量關(guān)系求出點(diǎn)I的坐標(biāo)，由面積的兩種表示求出a與c的關(guān)系式，進(jìn)而得到橢圓的斜率．
（2）設(shè)出橢圓與直線的方程并且聯(lián)立方程得到關(guān)于y的一元二次方程，以F₁F₂為底邊寫(xiě)出三角形的面積表達(dá)式，利用函數(shù)求最值的方法求出面積的最大值，并且求出此時(shí)m的數(shù)值，即得到橢圓的方程．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），，則有：，I的縱坐標(biāo)為，|F₁F₂|=2c
∴

（2）由（1）可設(shè)橢圓C的方程為：，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線MN的方程為：
可得：3（my+c）²+4y²=12c²⇒（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0
∴
∴
令m²+1=t，則有t≥1且m²=t-1，
∴，
易證g（t）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（t）_max=g（1）=，
∴的最大值為．
故橢圓C的方程為．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的有關(guān)數(shù)值的關(guān)系以及結(jié)合橢圓的形狀和幾何意義兩行表達(dá)三角形的面積，最終利用函數(shù)的形狀解決問(wèn)題．