已知函數(shù)
(1)當(dāng)a=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)當(dāng)a<0時(shí),試求方程f(x)=0根的個(gè)數(shù).
【答案】分析:先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f'(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3(ax-2)(x-1)
(1)當(dāng)a=-2時(shí),f′(x)=-6(x+1)(x-1),分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化以確定函數(shù)的單調(diào)性的改變,從而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值
(2)當(dāng)a<0時(shí),可得從而可求函數(shù)f(x)在,(1,+∞)遞減;在遞增,結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù).
解答:解:f'(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3(ax-2)(x-1)
(1)當(dāng)a=-2時(shí),f′(x)=-6(x+1)(x-1)
令f′(x)=0得x1=1x2=-1
(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)
f'(x)-+-
f(x)極小值極大值
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)
f(x)極小值=-7f(x)極大值=1(6分)
(2)當(dāng)a<0時(shí),∴f(x)在,(1,+∞)遞減;在遞增,(9分)
又∵,(11分)∴f(x)有三個(gè)零點(diǎn).
∴當(dāng)a<0時(shí),f(x)有三個(gè)零點(diǎn).(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化判斷函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的極值問(wèn)題,此類問(wèn)題由于含有參數(shù),常涉及到分類討論的思想,還體現(xiàn)了方程與函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的思想.
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(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)a<0,且時(shí),f(x)的值域?yàn)閇4,6],求a,b的值.

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(1)當(dāng)a=3時(shí),求f(x)的零點(diǎn);

(2)求函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.

 

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