Question

（2012•三明模擬）已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²，a是大于零的常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上存在一點(diǎn)P，使得曲線y=f（x）上總有兩點(diǎn)M，N，且

MP

=

PN

成立．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的極值，先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而找出極值點(diǎn)；
（2）根據(jù)函數(shù)的增減性來求字母系數(shù)的取值范圍，可根據(jù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的增減情況，推出其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，是問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，進(jìn)一步借助于二次函數(shù)圖象和二次不等式的關(guān)系來分析；
（3）曲線上存在一點(diǎn)P，可猜想P點(diǎn)很可能是一個(gè)特殊點(diǎn)，在求解（1）時(shí)涉及到兩個(gè)極值點(diǎn)，因向量方向問題，兩極值點(diǎn)不可能是P，所以可嘗試兩極值點(diǎn)的中點(diǎn)作為P點(diǎn)．

解答：解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，則f^′（x）=3x²-4ax+a²，當(dāng)a=1時(shí)，f^′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），令f^′（x）=0，得x1=

1

3

，x2=1，f（x）在區(qū)間(0，

1

3

)，(

1

3

，1)，（1，+∞）上分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，于是當(dāng)x=

1

3

時(shí)，有極大值f(

1

3

)=

4

27

；
當(dāng)x=1時(shí)有極小值f（1）=0．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-4ax+a²，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增，
則f^′（x）=3x²-4ax+a²≥0在x∈[1，2]上恒成立，當(dāng)0＜

2a

3

＜1時(shí)，即a＜

3

2

時(shí)，由f^′（1）=3-4a+a²≥0得0＜a≤1；
當(dāng)1≤

2a

3

≤2，即

3

2

≤a≤3時(shí)，f′(

2a

3

)=-

a2

3

≥0，無解；
當(dāng)

2a

3

＞2，即a＞3時(shí)，由 f^′（2）=12-8a+a²≥0得a≥6．
綜上，當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增時(shí)，0＜a≤1或a≥6．
（Ⅲ）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，f^′（x）=3x²-4ax+a²，
令f'（x）=0，得x1=

a

3

 ，x2=a，
f（x）在區(qū)間(-∞，

a

3

)，(

a

3

，a)，（a，+∞）上分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
于是當(dāng)x=

a

3

時(shí)，有極大值f(

a

3

)=

4a3

27

；
當(dāng)x=a時(shí)，有極小值f（a）=0．
記A(

a

3

，

4a3

27

)，B（a，0），AB的中點(diǎn)p(

2a

3

，

2a3

27

)，
設(shè)M（x，y）是圖象任意一點(diǎn)，由

MP

=

PN

，得N(

4

3

a-x ， 

4

27

a3-y)，
因?yàn)?span id="liupm9a" class="MathJye">f(

4

3

a-x)=(

4

3

a-x)3-2a(

4

3

a-x)2+a2(

4

3

a-x)=

4

27

a3-x3+2ax2-a2x=

4

27

a3-y，
由此可知點(diǎn)N在曲線y=f（x）上，即滿足

MP

=

PN

的點(diǎn)N在曲線C上．
所以曲線y=f（x）上存在一點(diǎn)P(

2a

3

，

2

27

a3)，使得曲線y=f（x）上總有兩點(diǎn)M，N，且

MP

=

PN

成立．

點(diǎn)評(píng)：涉及二次以上函數(shù)的極值問題，求導(dǎo)是必選途徑；存在性問題的求證，往往需要大膽的猜想和假設(shè)．