Question

關(guān)于x的方程x²+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0的兩根為α、β且0＜θ＜2π，若數(shù)列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）^2…的前2008項(xiàng)和為0，則θ的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由根與系數(shù)關(guān)系得到α、β的和與積，求出

1

α

+

1

β

，得到數(shù)列數(shù)列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）²…為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式求出其前2008項(xiàng)的和，由和為0求得sinθ的值，結(jié)合θ的范圍得答案．

解答： 解：∵方程x²+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0（其中0＜θ＜2π）的兩實(shí)根為α、β，
∴△=sin²2θ+4sinθ•cotθ≥0，
即sin²θ•cos²θ+cosθ≥0  ①
α+β=-sin2θ，αβ=-sinθ•cotθ=-cosθ，

1

α

+

1

β

=

α+β

αβ

=

-sin2θ

-cosθ

=2sinθ，
顯然2sinθ≠1且2sinθ≠0，否則數(shù)列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）^2…的前2008項(xiàng)和不為0，
∴數(shù)列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）²…是首項(xiàng)為1，公比為2sinθ的等比數(shù)列，
則其前2008項(xiàng)的和為

1-(2sinθ)2008

1-2sinθ

=0．
即（2sinθ）²⁰⁰⁸=1，2sinθ=-1，sinθ=-

1

2

．
∵0＜θ＜2π，
∴θ=

7π

6

或θ=

11π

6

．
驗(yàn)證θ=

7π

6

或θ=

11π

6

時(shí)①成立，
故答案為：

7π

6

或

11π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，具體涉及到三角函數(shù)的恒等變換和基本性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，是中檔題．