如圖示，已知A、B、C為平面上的三個定點，∠ACB=60°，動點P在∠ACB的平分線上，記
CB
=
a
，
CA
=
b
，|
CP
|=m（m＞0），
（1）若|
a
|=|
b
|，試用m、
a
、
b
表示
CP
；
（2）問當m為何值時，
CP
•（
BP
+
AP
）取最小值，并求此最小值．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應用
分析：（1）利用已知動點P在∠ACB的平分線上，得到
CP
，
a
+
b
共線，利用共線的性質(zhì)得到
CP
；
（2）首先將
CP
用m，
a
，
b
表示，然后計算
CP
•（
BP
+
AP
）進一步改進不等式求最值．
解答： 解：（1）∵|
a
|=|
b
|，∠ACB=60°，動點P在∠ACB的平分線上，∴
CP
，
a
+
b
共線，|
a
+
b
|=
2
a
2+2
a
2cos60°
=
3
|
a
|，∴
CP
=
m
3
|
a
|
(
a
+
b
)；
（2）∵
CB
方向上的單位向量為
a
|
a
|
，
CA
方向上的單位向量為
b
|
b
|
，
∴
CP
=
m(
a
|
a
|
+
b
|
b
|
)
|
a
|
a
|
+
b
|
b
|
|
，而|
a
|
a
|
+
b
|
b
|
|=
2+2cos60°
=
3
，
∴
CP
=
m
3
(
a
|
a
|
+
b
|
b
|
)，
∵（
a
+
b
）（
a
|
a
|
+
b
|
b
|
）=|
a
|+|
b
|+（
1
|
a
|
+
1
|
b
|
）
a
•
b
=
3
2
(|
a
|+|
b
|)，
而
CP
•(
BP
+
AP
)=
CP
•(
BC
+
CP
+
AC
+
CP
)=
CP
•(2
CP
-
CB
-
CA
)=2m2-
m
3
(
a
+
b
)(
a
|
a
|
+
b
|
b
|
)=2m2-
3
(|
a
|+|
b
|)
2
m，
∴當m=
3
8
(|
a
|+|
b
|)時，
CP
•（
BP
+
AP
）取最小值為-
3
32
(|
a
|+|
b
|)2．
點評：本題考查了向量共線的性質(zhì)以及利用單位向量表示
CP
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在正四面體P-ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論不成立的是（　�。�
A、BC∥平面PDF
B、DF⊥平面PAE
C、平面PDF⊥平面PAE
D、平面PDE⊥平面ABC

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

判斷下列各命題：
①若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
②函數(shù)y=2sin（2x-
π
6
）的圖象的一個對稱中心是（
π
12
，0）；
③若函數(shù)f（x）=sin（
x+5π
2
），g（x）=cos（
x+5π
2
），則f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)；
④若函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移
π
4
個單位，得到函數(shù)y=sin（2x+
π
4
）的圖象．
其中正確的命題為（　�。�
A、①②③B、②③
C、③④D、①③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）m為何值時，f（x）=x2+2mx+3m+4．有且僅有一個零點；
（2）若函數(shù)f（x）=|4x-x2|+a有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga（1-ax），其中a＞0，a≠1．
（1）求反函數(shù)f-1（x）及其定義域；
（2）解關于x的不等式loga（1-ax）＞f-1（1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設平面內(nèi)的向量
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），
OM
=（2，1），P是直線OM上的一個動點，且
PA
•
PB
=-8．求：
（Ⅰ）向量
OP
的坐標；
（Ⅱ）向量
PA
與
PB
夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，|AB|=4，
|AC|
|BC|
=
1
2
，試建立適當?shù)淖鴺讼�，求點C的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l1為曲線y=x2+x-2在點（0，-2）處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2
（Ⅰ）求直線l2的方程；
（Ⅱ）求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），x∈[0，
π
2
]
（Ⅰ）用含x的式子表示
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=|
a
+
b
|的值域；
（Ⅲ）設g（x）=
a
•
b
+t|
a
+
b
|，若關于x的方程g（x）+2=0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

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