Question

已知a，b∈R，函數f(x)＝a＋ln(x＋1)的圖象與g(x)＝x³－x²＋bx的圖象在交點(0,0)處有公共切線．

(1)證明：不等式f(x)≤g(x)對一切x∈(－1，＋∞)恒成立；

(2)設－1＜x₁＜x₂，當x∈(x₁，x₂)時，證明：.

Answer 1

證明：　(1)由題意得f′(x)＝，g′(x)＝x²－x＋b，x＞－1，

則

∴f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)，g(x)＝x³－x²＋x.

令h(x)＝f(x)－g(x)

＝ln(x＋1)－x³＋x²－x(x＞－1)，

∴h′(x)＝－x²＋x－1＝－，

∴h(x)在(－1,0)上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞減，

∴h(x)≤h(0)＝0，∴f(x)≤g(x)．

(2)當x∈(x₁，x₂)時，由題意得－1＜x₁＜x＜x₂，

①設u(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x₁)]－(x－x₁)，

則u′(x)＝ln(x＋1)－ln(x₁＋1)＞0，

∴u(x)＞u(x₁)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x₁)]－(x－x₁)＞0，

∴>；

②設v(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x₂)]－(x－x₂)，

則v′(x)＝ln(x＋1)－ln(x₂＋1)＜0，

∴v(x)＞v(x₂)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x₂)]－(x－x₂)＞0，

∴＜，

由①②得＞.