Question

已知曲線(xiàn)y=

1

3

x3+

4

3

，
（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)P（2，4）處的切線(xiàn)方程；
（2）求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線(xiàn)方程；
（3）求斜率為4的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲線(xiàn)的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線(xiàn)的斜率，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線(xiàn)的方程即可；
（2）設(shè)出曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P切線(xiàn)方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線(xiàn)的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)的方程，把P的坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線(xiàn)方程即可；
（3）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由切線(xiàn)的斜率為4，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值等于4列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入曲線(xiàn)方程即可求出相應(yīng)的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率分別寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可．

解答：解：（1）∵P（2，4）在曲線(xiàn)y=

1

3

x3+

4

3

上，且y'=x²
∴在點(diǎn)P（2，4）處的切線(xiàn)的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲線(xiàn)在點(diǎn)P（2，4）處的切線(xiàn)方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）設(shè)曲線(xiàn)y=

1

3

x3+

4

3

與過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線(xiàn)相切于點(diǎn)A（x₀，

1

3

x03+

4

3

），
則切線(xiàn)的斜率k=y′|x=x0=x02，
∴切線(xiàn)方程為y-（

1

3

x03+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即y=

x

2 0

•x-

2

3

x

3 0

+

4

3

∵點(diǎn)P（2，4）在切線(xiàn)上，
∴4=2x₀²-

2

3

x03+

4

3

，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線(xiàn)方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．
（3）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）
則切線(xiàn)的斜率為k=x₀²=4，x₀=±2．切點(diǎn)為（2，4），（-2，-

4

3

）
∴切線(xiàn)方程為y-4=4（x-2）和y+

4

3

=4（x+2）
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線(xiàn)”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)”；同時(shí)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．