Question

如圖，已知過T（3，-2）的動直線l與拋物線C：y²=4x交于P，Q兩點，點A（1，2）．
（I）證明：直線AP與直線AQ的斜率乘積恒為定值-2；
（II）以PQ為底邊的等腰三角形APQ有幾個？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)直線l的方程為x=m（y+2）+3，聯(lián)立直線方程與拋物線方程求出P，Q兩點的坐標，代入直線AP與直線AQ的斜率進而求出直線AP與直線AQ的斜率乘積恒為定值-2；
（II）先求出PQ的中點坐標，再結(jié)合三角形APQ為等腰三角形求出關(guān)于m的等式，借助于函數(shù)的單調(diào)行求出m的取值個數(shù)即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)直線l的方程為x=m（y+2）+3
由

x=m(y+2)+3 y2=4x

得y²-4my-8m-12=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8m-12
∴k_AP•k_AQ=

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=

4

y1+2

•

4

y2+2

=

16

y1 y2+2(y1+y2) +4

=-2．
（II）PQ的中點坐標為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即（

y12 4 + y22 4

2

，

y1+y2

2

），

y12+y22

4

=

(y1+y2) 2-2y1y2

4

=4m²+4m+6，
所以PQ的中點坐標為（2m²+2m+3，2m），
由已知得

2m-2

2m2+2m+3-1

=-m，
即m³+m²+2m-1=0．
設(shè)f（m）=m³+m²+2m-1，則f′（m）=3m²+2m+2＞0，
f（m）在R上是增函數(shù)，又f（0）=-1，f（1）=3，故f（m）在（0，1）內(nèi)有一個零點，
函數(shù)f（m）有且只有一個零點，即方程m³+m²+2m-1=0有唯一實根．
所以滿足條件的等腰三角形有且只有一個．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．解決第一問的巧妙之處在于直線方程的設(shè)法．當直線的斜率不確定存在時，為避免討論，常設(shè)直線方程為x=my+b的形式．