解:(1)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224599.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532563.png)
74
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532564.png)
.
由橢圓定義,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532565.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224605.png)
.
在Rt△AF
1F
2中,∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532566.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532567.png)
.∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/38404.png)
.
(2)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10877.png)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532568.png)
,∴b=c.
橢圓方程化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4706.png)
,即x
2+2y
2=2b
2.
焦點(diǎn)F
1(-b,0),F(xiàn)
2(b,0),
設(shè)A(x
0,y
0),B(x
1,y
1),C(x
2,y
2).
①當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí),直線AC的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/134325.png)
.
代入橢圓方程,得(3b
2-2bx
0)y
2+2by
0(x
0-b)y-b
2y
02=0.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532569.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532570.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532571.png)
.
同理可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532572.png)
.
②當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/532573.png)
.
綜上所述,m+n是定值6.2
分析:(1)欲求橢圓的離心率,只需得到a,c的齊次式,根據(jù)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/186843.png)
時(shí),有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/186844.png)
成立,以及橢圓定義,即可得到.
(2)由(1)中求得的橢圓的離心率,可把橢圓化簡(jiǎn)成只有一個(gè)參數(shù)的形式,求出焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2坐標(biāo),設(shè)出直線AC的方程,與橢圓方程聯(lián)立,再根據(jù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/186845.png)
,分別用參數(shù)的式子表示m,n,計(jì)算m+n,消去參數(shù),可得一定值,問(wèn)題得證.
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓離心率的求法,以及直線和橢圓聯(lián)立,韋達(dá)定理得應(yīng)用.