Question

為了治理“沙塵暴“，西部某地區(qū)政府經過多年努力，到2006年底，將當地沙漠綠化了40%，從2007年開始，每年將出現這種現象，原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問至少經過幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%？（可參考數據lg2=0.3，最后結果精確到整數）

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,等差數列與等比數列

分析：根據題意利用今年的綠化面積表示出明年的綠化面積是解決本題的關鍵，弄清楚今年的綠化面積與明年綠化面積之間的關系，將文字語言表示為數學語言，根據等比數列的定義可證得數列{a_n-

3

5

}是以-

1

5

為首項，公比為

4

5

的等比數列，得出該數列的通項公式，利用指數式和對數式之間的關系確定出合題意的年份．

解答： 解：設經過n年綠洲面積為a_n+1，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-8%）+（1-a_n）•12%
即a_n+1=80%a_n+12%，
∴a_n+1-

3

5

=

4

5

（a_n-

3

5

）
∴數列{a_n-

3

5

}是以-

1

5

為首項，公比為

4

5

的等比數列
∴a_n-

3

5

=（-

1

5

）×（

4

5

）^n-1，即a_n=（-

1

5

）×（

4

5

）^n-1+

3

5

則a_n+1=（-

1

5

）×（

4

5

）ⁿ+

3

5

≥

1

2

即

1

2

≥（

4

5

）ⁿ
兩邊同時取對數可得-lg2≥n（2lg2-lg5）=n（3lg2-1）
故n≥

lg2

1-3lg2

＞3，故使得上式成立的最小n∈N^*為4，
答：最少需要經過4年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%．

點評：本題考查數列在實際問題中的應用，考查探索數列遞推關系的數學模型意識，關鍵要將題目中的文字語言轉化為數學語言，考查學生根據數列的遞推關系確定通項公式的方法，考查學生對數的運算、轉化與化歸思想方法．